Teorema de Tales
O teorema de Tales é uma lei da geometria que nos diz que se traçarmos uma linha paralela a qualquer um dos lados de um triângulo, teremos como resultado um triângulo semelhante ao triângulo original.
Em outras palavras, se cortarmos um triângulo traçando uma linha paralela a um de seus lados, obteremos um triângulo semelhante ao existente anteriormente.
Neste ponto, deve-se notar que dois triângulos são semelhantes quando seus ângulos correspondentes são congruentes (medidas iguais) e seus lados homólogos são proporcionais entre si.
Para entender melhor, vejamos a figura a seguir:
Pelo teorema de Thales pode-se concluir que α=δ e β=ε
Além disso, como mencionamos anteriormente, os lados são proporcionais, então é verdade que:
Uma anedota contada pelo historiador Plutarco conta que Tales de Mileto, em uma de suas viagens, utilizou esse teorema para descobrir a altura das pirâmides de Gizé (as de Quéops, Khafre e Menkaure) no Egito. Então, ele decidiu colocar um bastão verticalmente contra o chão, esperando que o comprimento do objeto fosse igual à sombra que ele projetava. Naquela época, a sombra da pirâmide também seria igual à altura da pirâmide. Neste caso, os triângulos semelhantes são:
- Aquele que tem como dois de seus lados a vara e sua sombra.
- O triângulo que tem como um de seus lados a altura da pirâmide e, como outro lado, sua sombra.
Para entender melhor, imagine na figura acima que a pirâmide é aquela formada pelos vértices D, E e F, sua altura é o segmento HE e sua sombra, IE. Enquanto isso, a haste é o segmento AB e sua sombra, CB. Portanto, AB/CB=HE/IE. Isto, tendo em conta que os raios do sol são paralelos (não se cruzam nem no seu prolongamento), por isso formarão com a haste o mesmo ângulo que com a pirâmide (os ângulos α e β são iguais).
Exemplo de teorema de Tales
Para entender melhor o teorema de Thales, vejamos a figura a seguir:
Se BC é 7,3 metros, DE é 3,6 metros e AB é 6,2 metros. Qual é o comprimento de AD?
Resolvemos na fórmula mostrada anteriormente e temos que:
7,3/3,6=6,2/AD
2,0278=6,2/AD
AD = 3,0575 metros
Extensão do teorema de Thales
O teorema de Thales pode ser estendido para a análise de quaisquer duas retas que são cortadas por outras paralelas entre si, como vemos na imagem a seguir:
Assim, sustenta que:
O que foi dito acima é verdade porque devemos pensar nessas linhas como parte de um triângulo ou, olhando de outra maneira, se estendermos as linhas AB e CD, elas se cruzarão. É melhor vermos na imagem a seguir:
segundo teorema de Tales
Há também um segundo teorema de Tales segundo o qual, se tivermos um triângulo formado pelo diâmetro de uma circunferência e duas linhas que se cruzam a ele (elas cortam a figura em dois pontos), o ângulo oposto ao diâmetro é reto, que é , mede 90º.
Deve-se lembrar que um diâmetro é aquele segmento que, passando pelo centro da circunferência, une dois pontos opostos da referida figura.
Podemos ver isso melhor na imagem a seguir:
Podemos verificar este teorema levando em conta que AC, AD e AB medem o mesmo e são iguais ao raio da circunferência (o raio é qualquer segmento que une um ponto da circunferência com o centro da figura e é igual a metade do diâmetro). Então, os triângulos ABC e ABD são isósceles e seus dois lados semelhantes são ângulos opostos que também medem o mesmo, ou seja:
AC=AD=AB=r (raio da circunferência)
γ=β e α=δ
Então, se virmos o triângulo CBD e lembrarmos que os ângulos internos de um triângulo devem somar 180º, temos que:
γ+β +α+δ=180º
2β+2α=180º
2(α+β)=180º
α+β=90º
Portanto, o triângulo CBD é um triângulo retângulo.