Em palavras ainda mais simples, permite encontrar a expressão matemática, se existir, de uma estatística suficiente.

Em relação ao critério de fatoração de Fisher-Neyman podemos fazer uma consideração. O critério de fatoração de Fisher-Neyman serve tanto para verificar se uma estatística satisfaz a propriedade de suficiente, quanto para encontrar a expressão matemática de uma estatística suficiente (se existir). Em contraste, o teorema de Darmois só permite encontrar a expressão matemática (se existir) de uma estatística suficiente.

Digamos que enquanto o critério de fatoração de Fisher-Neyman avança (busca) e retrocede (check), o teorema de Darmois apenas avança (busca).

Teoricamente é expresso, dada uma amostra aleatória simples de uma variável aleatória X com função densidade f(x;θ) com θ ∈ Ω. Se esta função pertence à família exponencial, ou seja, pode ser expressa como:

f(x;θ) = β(θ) × b(x) × e ^[a(x) × α(θ)

Então a estatística T = T(x1, … , xn) = Σ a(x)

Para facilitar os cálculos, a notação geralmente é feita com logaritmos:

lnf(x;θ) = lnβ(θ) + lnb(x) + [a(x) × α(θ)]

Claro, é difícil entender toda essa notação matemática. Muitas incógnitas aparecem, muitas letras, muitos operadores. Vamos redefini-lo com palavras coloquiais. Para isso, partiremos da definição teórica aplicada a um exemplo:

Suponhamos uma amostra aleatória de 50 crianças (amostra aleatória simples) a quem perguntamos quanto dinheiro gastam por semana em doces (variável aleatória X) com uma dada função densidade (ver função densidade). Então, se esta função de densidade pode ser expressa da seguinte forma:

Vamos estabelecer que a estatística suficiente é a soma da expressão a(x)

As partes da fórmula são definidas da seguinte forma:

• lnβ(θ): É uma função que depende apenas do parâmetro (no nosso caso da média)
• lnb(x): É uma função que depende apenas da variável aleatória X
• a(x): É uma função que depende apenas de X e multiplica α(θ)
• α(θ): É uma função que depende apenas do parâmetro (no nosso caso da média)

Teorema de Darmois na prática

Embora todos tenhamos a capacidade e as ferramentas para descobrir novas estatísticas, isso não é comum. Ou seja, professores de economia e especialistas da área pesquisam esses temas.

A nível pessoal, é difícil encontrar alguém que se dedique a realizar este tipo de investigação. Assim, na prática, o importante desse teorema é entender de onde vêm as estatísticas que usamos.

Por exemplo, para alguém descobrir que a média é uma estatística suficiente, provavelmente usou esse processo.