Em outras palavras, os MPBs usam um limite fixo para fazer comparações com as observações e determinar quais estão abaixo desse limite  b .

Normalmente, todos os termos da fórmula são expressos em termos anuais. Se os dados forem expressos em outros termos, teremos que anualizar os resultados. 

Artigos recomendados: Funções MAX e MIN com restrição.

Definimos a variável Z como uma variável aleatória discreta formada por Z ₁ ,…,Z _N observações para compará-las com um limiar  b . MPBs de ordem  k só podem ser definidos para qualquer  k positivo  .

Para fazer a comparação, ou seja, para encontrar o máximo ou mínimo, precisamos definir um intervalo nas observações com limite superior e limite inferior. 

• Limite superior: Todos os resultados da função que estiverem acima do limite superior definido não serão considerados.
• Limite inferior: Todos os resultados da função que estiverem abaixo do limite inferior definido não serão considerados.

A função para momentos parciais baixos é diferente dependendo se usamos a função MAX ou MIN nas observações: 

• Minimizar: 
  • Função: min()
  • Limite superior: 0
  • Limite inferior: Z – b
  • Ponto: (Z – b,0)

• Maximizar: 
  • Função: max()
  • Limite superior: b – Z
  • Limite inferior: 0
  • Ponto: (b – Z,0)

Matematicamente, MPBs de ordem  k podem ser expressos tanto com a função MAX quanto com a função MIN: 

• Função MIN:

Definimos o valor absoluto para ter o resultado positivo.

• Função MÁX.:

Usamos a função  max(b – Z,0) para descrever os tipos de MPBs por ser mais intuitiva. No entanto, a função  min(|Z–b|,0) pode ser usada  de forma intercambiável.  

MPB de primeira ordem (k=1)

• Grau de dispersão de ordem 2 de Z valores menores que  b . 
• Retorno esperado de uma opção PUT com strike b .

MPB de segunda ordem (k=2)

• Grau de dispersão de ordem 2 de Z valores menores que  b . 

MPB de terceira ordem (k=3)

• Grau de dispersão de ordem 3 dos valores de Z menor que  b . 

MPB de quarta ordem (k=4)

• Grau de dispersão de ordem 4 dos valores de Z menor que  b . 

Suponha que queremos realizar um estudo sobre o grau de dispersão do preço da  AlpineSki durante 18 meses (um ano e meio). Especificamente, queremos encontrar os MPBs de ordem 2 que estão abaixo do limite de 2% ao ano. 

0. Baixamos as cotações e calculamos os retornos contínuos.

2. Calculamos:

3. Interpretação

• O Low Partial Momentum (MPB) de segunda ordem dado um limite anual de 2% é de 4,46%. Ou seja, o grau de dispersão anual de ordem 2 dos retornos abaixo de 2% é de 4,46%.