O ponto de inflexão, em outras palavras, é aquele momento em que a função muda sua tendência.

Observe que uma função pode ter mais de um ponto de inflexão ou não ter nenhum. Por exemplo, uma linha reta não tem ponto de inflexão.

Além disso, em termos matemáticos, o ponto de inflexão é calculado definindo a segunda derivada da função igual a zero. Assim, isolamos a raiz (ou raízes) dessa equação e as chamaremos de Xi.

Em seguida, colocamos Xi na terceira derivada da função. Se o resultado for diferente de zero, estamos diante de um ponto de virada.

No entanto, se o resultado for zero, devemos substituir nas derivadas sucessivas, até que o valor desta derivada, seja a terceira, quarta ou quinta, seja diferente de 0. Se a derivada for ímpar, é um ponto de inflexão, mas se for par, não.

A seguir, vejamos um exemplo.

Suponha que temos a seguinte função:

y=2×4 ⁺ 5×3 +9x+ ¹⁴

Primeira derivada: y’=8x ³ +15x ² +9

Segunda derivada: y»=24x ² +30x=0

24x ² =-30x

24x=-30

x=-30/24

Xi=-1,25

Em seguida, colocamos Xi na terceira derivada:

y»’=48x

y»’=48*(-1,25)=-60

Como o resultado é diferente de zero, nos deparamos com um ponto de inflexão que seria quando x é igual a -1,25 e y é igual a -2,1328, como demonstraremos a seguir:

y=2×4 ⁺ 5×3 +9x+ ¹⁴

y=2(-1,25) ⁴ +5(-1,25) ³ +9(-1,25)+14

y=(2*2,4414)+(5*-1,9531)+(9*-1,25)+14

y=4,8828+(-9,7656)+(-11,25)+14

y=-2,1328

Neste gráfico observa-se que a função tem um ponto de inflexão:

Agora, vejamos outro exemplo:

^y = x4 ^-54×2

y’=4x ³ -108x

y»=12x ² -108=0

x2 ⁼ 108/12

x2 = ⁹

Xi=3 e -3

Em seguida, conectamos as duas raízes encontradas na terceira derivada:

y»’=24x

e »’=24×3=72

y»’=24x-3=-72

Como o resultado é diferente de zero, temos dois pontos de inflexão em (3;-405) e (-3;-405). Os dados de -405 resultam da substituição de 3 e -3, respectivamente, na função de y.

y=x ⁴ -54x ² =3 ⁴ -54*3 ² =81-486=405 (O resultado é o mesmo com -3)

Para complementar a informação, convidamo-lo a visitar o artigo de inflexão, onde abordamos este conceito de uma forma mais geral: