Trapézio isósceles
O trapézio isósceles é aquele em que seus dois lados não paralelos, aqueles que unem as duas bases da figura, têm o mesmo comprimento.
Deve-se lembrar que um trapézio é um quadrilátero (polígono com quatro lados) caracterizado por ter dois lados chamados bases. Estes são paralelos (não se cruzam, mesmo que sejam prolongados) e de comprimentos diferentes. Da mesma forma, seus outros dois lados não são paralelos.
O trapézio isósceles é um dos três tipos de trapézio, juntamente com o trapézio direito e o trapézio escaleno.
Características do trapézio isósceles
Entre as características do trapézio isósceles, destacam-se:
- Na figura abaixo, se o trapézio é isósceles, os lados AB e CD têm o mesmo comprimento.
- Os dois ângulos internos, localizados na mesma base, medem o mesmo. Se nos guiarmos pela imagem inferior, seriam verdadeiros: α=β e δ=γ.
- As diagonais da figura, AC e DB, têm o mesmo comprimento.
- Os ângulos internos, que são opostos, são suplementares. Ou seja, eles formam um ângulo reto. Na imagem inferior observar-se-ia: α+γ=α+δ=β+δ=β+γ=180º.
- Dois de seus ângulos internos são agudos (menores que 90º), enquanto os outros dois são obtusos (maiores que 90º). Assim, na figura abaixo, α e β são obtusos, enquanto δ e γ são agudos.
- Os quatro ângulos internos somam 360º.
- O trapézio isósceles é o único tipo de trapézio que pode ser inscrito em um círculo. Ou seja, seus quatro vértices podem passar pelo perímetro de um círculo (veja o desenho abaixo).
- Possui uma linha de simetria, que seria a linha EF na imagem abaixo. Esta é perpendicular às bases (forma um ângulo reto ou de 90º) e as corta em seu ponto médio. Desta forma, ao traçar o referido eixo, o polígono é dividido em duas partes simétricas. Ou seja, cada ponto de um lado corresponde a um ponto do outro lado, ambos equidistantes do eixo de simetria. Por exemplo, a distância entre o ponto B e o ponto F é a mesma distância que entre o ponto F e o ponto C.
Perímetro e área do trapézio isósceles
Para entender melhor as características de um trapézio isósceles, podemos calcular as seguintes medidas:
- Perímetro : Adicionamos o comprimento de cada lado da figura: P=AB+BC+CD+AD.
- Área : Como em todos os trapézios, para encontrar sua área, some as bases, divida por dois e multiplique pela altura. Conforme indicado na fórmula abaixo:
Agora, para calcular a altura podemos desenhar duas alturas dos vértices A e D, como podemos ver na figura abaixo:
Temos, então, o triângulo ADFG; onde AD é igual a FG, e os triângulos formados nos lados são congruentes. Portanto, BF é o mesmo que GC. Vamos supor que ambos medem a .
Portanto, seria cumprido que:
Agora vemos que os triângulos formados para os lados são triângulos retângulos, então o teorema de Pitágoras pode ser aplicado. Por exemplo, no triângulo ABF, AB é a hipotenusa, enquanto AF (chamaremos a altura h) e BF são os catetos.
Devemos também levar em conta que AB é o mesmo que DC. Assim, se substituirmos o acima na fórmula da área, teríamos a área em função dos lados do trapézio:
Outra forma de calcular a área de um trapézio é multiplicando as diagonais, dividindo por dois e multiplicando pelo seno do ângulo que elas formam quando se cruzam, lembrando que ambas as diagonais são iguais:
Vale a pena notar que no cruzamento das diagonais, os ângulos opostos são iguais e seu adjacente é seu ângulo suplementar.
Sabendo então que o seno de um ângulo é igual ao seno do seu ângulo suplementar, qualquer um dos ângulos na interseção das diagonais pode ser escolhido.
Resumindo, na imagem abaixo é verdade que: α=γ, β=δ e α+β=γ+δ=α+δ=β+γ=180º
Para encontrar a diagonal, podemos usar a seguinte fórmula:
Portanto, a área seria:
exemplo de trapézio isósceles
Vamos imaginar que temos um trapézio com bases que medem 4 e 8 metros, enquanto os lados não paralelos medem 3,6 metros cada, sendo ambos iguais (portanto o trapézio é isósceles), qual é o perímetro (P), a área (A ) e a diagonal (D) da figura?