O modelo de Vasicek
O modelo de Vasicek é um modelo de equilíbrio unifatorial de taxas de juros baseado em um processo browniano geométrico que leva em consideração a reversão à média e a estrutura a termo das taxas de juros.
Em outras palavras, o modelo Vasicek é usado para prever taxas de juros de longo prazo por meio da simulação de taxas de juros de curto prazo. Além disso, leva em consideração que as taxas de juros são diferentes em diferentes períodos de tempo (estrutura a termo das taxas de juros).
Os modelos de taxas de juros de equilíbrio usam taxas de juros de prazos mais curtos para calcular as taxas de juros futuras levando em consideração a estrutura a termo das taxas de juros.
Para construir a curva de juros, precisamos das taxas de juros de curto prazo e dos parâmetros do modelo. Uma vez que temos as taxas de juros de curto prazo e os parâmetros, podemos calcular as taxas de juros de longo prazo.
Assim, para calcular os preços futuros dos títulos de cupom zero, precisamos de taxas de cupom zero de curto prazo. Dessa forma, também poderemos construir a curva de juros de cupom zero ou estrutura temporária. Assim que tivermos a curva, determinaremos a evolução das taxas de juros de longo prazo em função das taxas de juros de curto prazo.
Fórmula do Modelo Vasicek: Preço do título com cupom zero.
Solução analítica para encontrar o preço de um título de cupom zero que paga € 1 no vencimento (T) em qualquer período de tempo (t) e a uma taxa de juros de curto prazo (r(t)).
Não entre em pânico!
Só precisamos:
- O período de tempo em que queremos conhecer as taxas de juros, ou seja, T.
- O momento do tempo em que estamos agora ou o momento inicial que queremos, ou seja, t.
- A curva de juros de curto prazo, ou seja, r(T) ou T . Se quiséssemos expressar as taxas de juros no período inicial, usaríamos r(T) ou T .
- Nestas fórmulas trataremos os parâmetros a, b e s como constantes no tempo.
- O desvio padrão, s.
Para calcular o preço de uma obrigação de cupão zero que paga 1€ na maturidade (T) em qualquer período de tempo (t) só temos de dar valores aos parâmetros a, b e s e simular as taxas de juro de curto prazo (r(t)).
Representação do Modelo Vasicek: Preço do Título de Cupom Zero
P(t,T) representa o preço do título do tempo t até T.
Então… Os preços dos títulos vão ser sempre assim?
De forma alguma, como dissemos no início, as taxas de juros dependem de um processo geométrico browniano e, portanto, implica a presença de um componente aleatório, N(0,1). Portanto, toda vez que calcularmos as fórmulas acima, as taxas de curto prazo mudarão, assim como as taxas de juros de longo prazo, os preços dos títulos e sua proxy.
Usaremos as seguintes fórmulas para encontrar r(T) e R(T).
Fórmula do modelo Vasicek: taxas de juros de curto prazo
Fórmula da taxa de juros de curto prazo (r T ):
Fórmula da taxa de juros de longo prazo (R T ):