Modelo AR(1)
O modelo AR(1) é um modelo autorregressivo que é construído exclusivamente em um atraso.
Em outras palavras, a autorregressão de primeira ordem, AR(1), regride a autorregressão por um período de tempo.
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Fórmula de um AR(1)
Embora a notação possa variar de um autor para outro, a forma genérica de representar um AR(1) seria a seguinte:
Ou seja, de acordo com o modelo AR(1), a variável y no tempo t é igual a uma constante (c), mais a variável em (t-1) multiplicada pelo coeficiente, mais o erro. Deve-se notar que a constante ‘c’ pode ser um número positivo, negativo ou zero.
Em relação ao valor de teta, ou seja, o coeficiente que multiplicado por y(t-1), pode assumir valores diferentes. No entanto, em linhas gerais, podemos resumi-lo em dois:
Teta maior ou igual a 1
| Teta | menor ou igual a 1:
Cálculo da expectativa e variância do processo
Exemplo prático
Supomos que queremos estudar o preço dos passes de esqui para esta temporada de 2019 (t) através de um modelo autorregressivo de ordem 1 (AR(1)). Ou seja, vamos voltar um período (t-1) na variável dependente para poder fazer a autorregressão. Em outras palavras, vamos regredir t -forfaits em t – 1 forfaits.
O modelo seria:
O significado de autorregressão está no fato de que a regressão é feita na mesma variável forfaits, mas em um período de tempo diferente (t-1 e t).
Usamos logaritmos porque as variáveis são expressas em unidades monetárias. Em particular, usamos logaritmos naturais porque sua base é o número e, usado para capitalizar a renda futura.
Temos os preços dos passes de esqui de 1995 a 2018:
Ano | Passes de esqui ( € ) | Ano | Passes de esqui ( € ) |
novecentos e noventa e cinco | 32 | 2007 | 88 |
mil novecentos e noventa e seis | 44 | 2008 | 40 |
1997 | cinquenta | 2009 | 68 |
1998 | 55 | 2010 | 63 |
1999 | 40 | 2011 | 69 |
2000 | 32 | 2012 | 72 |
2001 | 3. 4 | 2013 | 75 |
2002 | 60 | 2014 | 71 |
2003 | 63 | 2015 | 73 |
2004 | 64 | 2016 | 63 |
2005 | 78 | 2017 | 67 |
2006 | 80 | 2018 | 68 |
2019 | ? |
Procedimento
Com base nos dados de 1995 a 2018, calculamos os logaritmos naturais dos passes de esqui para cada ano:
Ano | Passes de esqui ( € ) | ln_t | ln_t-1 | Ano | Passes de esqui ( € ) | ln_t | ln_t-1 |
novecentos e noventa e cinco | 32 | 2007 | 88 | 4.4773 | 4,3820 | ||
mil novecentos e noventa e seis | 44 | 3,7842 | 3,4657 | 2008 | 40 | 3,6889 | 4.4773 |
1997 | cinquenta | 3,9120 | 3,7842 | 2009 | 68 | 4.2195 | 3,6889 |
1998 | 55 | 4,0073 | 3,9120 | 2010 | 63 | 4,1431 | 4.2195 |
1999 | 40 | 3,6889 | 4,0073 | 2011 | 69 | 4,2341 | 4,1431 |
2000 | 32 | 3,4657 | 3,6889 | 2012 | 72 | 4,2767 | 4,2341 |
2001 | 3. 4 | 3,5264 | 3,4657 | 2013 | 75 | 4,3175 | 4,2767 |
2002 | 60 | 4,0943 | 3,5264 | 2014 | 71 | 4,2627 | 4,3175 |
2003 | 63 | 4,1431 | 4,0943 | 2015 | 73 | 4.2905 | 4,2627 |
2004 | 64 | 4.1589 | 4,1431 | 2016 | 63 | 4,1431 | 4.2905 |
2005 | 78 | 4,3567 | 4.1589 | 2017 | 67 | 4,2047 | 4,1431 |
2006 | 80 | 4,3820 | 4,3567 | 2018 | 68 | 4.2195 | 4,2047 |
2019 | ? | ? |
Então para fazer a regressão, usamos os valores de ln_t como variável dependente e os valores de ln_t-1 como variável independente. Os valores sombreados são deixados de fora da regressão.
No Excel: = PROJ.LIN(ln_t;ln_t-1;true;true)
Selecione quantas colunas forem os regressores e 5 linhas, coloque a fórmula na primeira célula e CTRL+ENTER.
Obtemos os coeficientes da regressão:
Nesse caso, o sinal do regressor é positivo. Assim, um aumento de 1% no preço dos passes de esqui na temporada anterior (t-1) se traduz em um aumento de 0,53% no preço dos passes de esqui para esta temporada (t). Os valores entre parênteses abaixo dos coeficientes são os erros padrão das estimativas.
Substituímos:
passes de esqui t = passes de esqui 2019
t-1 passes = 2018 passes = 4,2195 (número em negrito na tabela acima).
Então,
Ano | Passes de esqui ( € ) | Ano | Passes de esqui ( € ) |
novecentos e noventa e cinco | 32 | 2007 | 88 |
mil novecentos e noventa e seis | 44 | 2008 | 40 |
1997 | cinquenta | 2009 | 68 |
1998 | 55 | 2010 | 63 |
1999 | 40 | 2011 | 69 |
2000 | 32 | 2012 | 72 |
2001 | 3. 4 | 2013 | 75 |
2002 | 60 | 2014 | 71 |
2003 | 63 | 2015 | 73 |
2004 | 64 | 2016 | 63 |
2005 | 78 | 2017 | 67 |
2006 | 80 | 2018 | 68 |
2019 | 65 |