Ou seja, o modelo AK é um modelo de crescimento econômico que leva em consideração que o produto cresce a uma taxa constante em função do capital.

Para entender esse modelo, devemos explicar os problemas apresentados pelos modelos de crescimento neoclássicos, como o modelo de Solow. Como apontamos no artigo vinculado, eles não foram capazes de explicar o crescimento de longo prazo de maneira robusta.

O modelo de Solow, em particular, não poderia explicar o crescimento de um país no longo prazo. Isso, a menos que seja devido a uma variável exógena, como um salto tecnológico. No entanto, se isso não acontecer, a economia tende a um estado estacionário, onde é feito o uso mais eficiente dos recursos.

Perante o exposto, Sergio Rebelo apresentou em 1990 um modelo básico de crescimento endógeno, o modelo AK, que decompomos a seguir.

Rebelo considerou uma função de produção linear em relação ao capital (K). Isso se justifica por considerar que o trabalho é outro tipo de capital no qual devem investir em sua saúde, em sua educação, entre outros.

Ou seja, para explicar de outra forma, assim como temos capital físico, também temos capital humano.

Então, vamos usar uma função de produção tradicional da Cobb Douglas, onde Y é a produção, A é a tecnologia (constante), K é o capital e L é a população:

Agora, vamos lembrar que, em uma economia, poupar é sempre igual a investimento. Para você entender facilmente, considere que a renda é dividida entre consumo e poupança. Por sua vez, o produto é compartilhado entre consumo e investimento. Portanto, se a renda for igual ao produto:

Da mesma forma, o investimento é igual à acumulação de capital mais a reposição do capital que se deprecia:

Enquanto isso, a poupança é uma porcentagem constante (s) da renda:

Agora, passo a igualar poupança a investimento:

O que fiz foi substituir a função de produção apresentada anteriormente na função que calcula a economia (S). Em seguida, eliminei a acumulação de capital (K com o ponto preto acima).

Agora, vou calcular a acumulação de capital em termos per capita dividindo pela população (L), e vamos salvar essa equação como Equação 1.

Agora, antes de continuarmos, vamos parar no capital per capita (você entenderá o porquê mais tarde). Este é o capital agregado (K) dividido pela população (L).

A primeira coisa que faremos é aplicar o logaritmo natural a essa equação, então temos:

No próximo passo, derivaremos essa equação em relação ao tempo, o que me daria a taxa de variação de cada variável. Ou seja, a taxa de variação do capital per capita é igual à taxa de variação do capital agregado menos a taxa de crescimento populacional.

Então eu desloco o capital per capita para a direita e continuo negociando:

O próximo passo será substituir na parte certa da equação o capital per capita pelo capital adicionado entre a população. Em seguida, substituímos a taxa de variação da população pela constante n que é o crescimento da população:

Agora voltamos para a equação 1 e substituímos

A partir da última equação, podemos interpretar a acumulação de capital per capita (o k minúsculo com o ponto preto acima) como sendo igual à diferença entre a poupança per capita (multiplicada por k) e o investimento necessário para que o capital per capita permaneça constante. Em outras palavras, posso entender a presença da variável n porque, assim como devo repor o capital que se deprecia, devo também investir nas pessoas que estão nascendo (capital humano).

Então, divido tudo pelo capital per capita:

Esta última equação significa que a taxa de variação do capital é igual à taxa de poupança (s) por tecnologia (A), que é constante, menos a soma da depreciação e a taxa de crescimento populacional, que também são constantes.

Isso implica que, aparentemente, pode haver um crescimento de longo prazo.

Vamos observar a representação das funções vistas em um gráfico:

No gráfico superior, vale esclarecer, estamos ilustrando o produto per capita, com base no capital per capita.

Referências: UVa_Online Faculdade de Ciências Económicas e Empresariais.