Matriz inversa de ordem 2
Uma matriz inversa é a transformação linear de uma matriz multiplicando o inverso do determinante da matriz pela matriz adjacente transposta.
Em outras palavras, uma matriz inversa é a multiplicação da inversa do determinante pela matriz adjacente transposta.
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Dada qualquer matriz X tal que
Fórmula de matriz inversa de uma matriz de ordem 2
Então a matriz inversa de X será
Por meio desta fórmula obtemos a matriz inversa de uma matriz quadrada de ordem 2.
A fórmula acima também pode ser expressa pelo determinante da matriz.
Fórmula de matriz inversa de uma matriz de ordem 2
As duas linhas paralelas em torno de X no denominador indicam que é o determinante da matriz X.
Quando uma matriz quadrada tem uma matriz inversa, dizemos que é uma matriz regular.
Requisitos
Para encontrar a matriz inversa de uma matriz de ordem n, precisamos atender aos seguintes requisitos:
- A matriz tem que ser uma matriz quadrada.
O número de linhas (n) deve ser igual ao número de colunas (m). Ou seja, a ordem da matriz deve ser n, pois n=m.
- O determinante deve ser diferente de zero (0).
O determinante da matriz deve ser diferente de zero (0), pois participa da fórmula como denominador. Se o denominador fosse um zero (0), teríamos uma indeterminação.
Se o denominador (ad – bc) = 0, ou seja, o determinante da matriz X é igual a zero (0), então a matriz X não tem matriz inversa.
Propriedade
Uma matriz quadrada X de ordem n terá uma matriz inversa X de ordem n, X -1 , tal que satisfaça
A ordem dos elementos da multiplicação não é relevante, ou seja, a multiplicação de qualquer matriz quadrada por sua matriz inversa resultará sempre na matriz identidade da mesma ordem.
Neste caso, a ordem da matriz X é 2. Assim, podemos reescrever a propriedade acima como:
Exemplo prático
Encontre a matriz inversa da matriz V.
Para resolver este exemplo podemos aplicar a fórmula ou primeiro calcular o determinante e depois substituí-lo.
Fórmula
Fórmula com determinante
Primeiro calculamos o determinante da matriz V e depois o substituímos na fórmula.
Então, obtemos que o determinante da matriz V é diferente de zero (0) e podemos dizer que a matriz V tem uma matriz inversa.
Obtemos o mesmo resultado usando a fórmula ou primeiro calculando o determinante e depois substituindo-o.
A ordem da matriz inversa é a mesma que a ordem da matriz original. Neste caso, teremos o mesmo número de linhas n e colunas m em ambas as matrizes V e V -1 .