Matriz de variância-covariância
A matriz variância-covariância é uma matriz quadrada de dimensão nxm que coleta as variâncias na diagonal principal e as covariâncias nos elementos fora da diagonal principal.
Em outras palavras, a matriz variância-covariância é uma matriz que possui o mesmo número de linhas e colunas e que possui as variâncias distribuídas na diagonal principal e as covariâncias nos elementos fora da diagonal principal.
Representação da Matriz
A matriz de variância-covariância é geralmente expressa como
Embora pareça que é o símbolo da soma e que não tem relação com a matriz variância-covariância, esta letra grega representa perfeitamente o conteúdo desta matriz.
Para entendê-lo, vamos primeiro olhar para a sua expressão:
Sabendo que existem m colunas, as elipses indicam que as colunas entre a segunda e a última coluna foram ignoradas. Da mesma forma, sabendo que existem n linhas, as elipses indicam que as linhas entre a segunda e a última linha foram ignoradas.
Neste caso, usamos sigma para representar as covariâncias e sigma ao quadrado para as variâncias. Como um exemplo:
Que letra grega aparece em todos os elementos do array? o sigma.
Portanto, é lógico que um sigma também é usado para definir a matriz de variância-covariância.
a letra grega
é a forma maiúscula de
Portanto, se lembrarmos que a matriz de variância-covariância é expressa como a maiúscula de sigma, será mais fácil lembrar sua definição.
Requisitos para que seja uma matriz de variância-covariância
Os requisitos para uma matriz de variância-covariância são os seguintes:
- Matriz quadrada : mesmo número de linhas (n) como colunas (m), então, n=m, e portanto, a dimensão desta matriz pode ser expressa tanto nxm quanto nxn.
- Na diagonal principal estão as variâncias :
- Fora da diagonal principal estão as covariâncias :
Inscrição
A matriz de variância-covariância é muito popular em econometria, pois é utilizada principalmente no cálculo de matrizes de coeficientes de regressão linear através de Mínimos Quadrados Ordinários, entre outros usos.
Em finanças, é usado para obter uma visão geral da volatilidade dos ativos financeiros.
Expressão matemática de variância e covariância
A matemática é expressa da seguinte forma:
- Covariância do elemento n=1 e m=2
- Variação do elemento n=1 e m=1
Tanto a variância quanto a covariância podem ser corrigidas. Ou seja, o denominador é n-1 em vez de n. Isso se deve aos graus de liberdade e depende se estamos falando de variâncias e covariâncias populacionais ou amostrais.