Ito lema Definição, o que é e conceito
Em 1951, o matemático japonês Kiyoshi Ito expressou a regra da cadeia do cálculo estocástico, dando origem ao famoso lema que leva seu nome.
O cálculo estocástico define a contrapartida do cálculo determinístico de Newton-Leibniz para funções aleatórias.
De fato, o cálculo estocástico de Ito é uma das ferramentas mais úteis da matemática financeira moderna, sobre a qual se baseia praticamente toda a teoria econômica e a análise financeira em tempo contínuo.
O lema de Ito nas finanças
Mais especificamente, na negociação de ações, o termo estocástico refere-se a oscilações nos preços de fechamento. Em outras palavras, os traders usam a análise estocástica para decidir quando comprar e vender títulos.
Sua suposição é que, quando o preço de fechamento atual de uma ação estiver próximo de seu preço mínimo ou máximo anterior, o preço do dia seguinte não será drasticamente maior ou menor, respectivamente.
Sob essa perspectiva, o lema de Ito é frequentemente utilizado para derivar o processo estocástico seguido pelo preço de um título derivativo. Por exemplo, se o ativo subjacente (o subjacente é a fonte da qual o valor do instrumento financeiro é derivado) segue o movimento browniano geométrico, então o lema japonês mostra que um título derivativo – cujo preço é uma função do preço do ativo subjacente e do tempo – também segue o movimento browniano geométrico.
Movimento browniano e o lema de Ito
Para uma melhor compreensão desta teoria, devemos primeiro lembrar o que é o movimento browniano: é o deslocamento aleatório (por acaso) que se observa em algumas partículas microscópicas quando estão em um meio fluido, em um líquido.
O escocês Robert Brown (a quem deve o nome) foi o biólogo que descobriu o fenômeno em 1827, mas sua descrição matemática foi elaborada por Albert Einstein, embora muitos anos depois, em 1905. No entanto, como resultado dessa demonstração, o famoso Nobel alemão abriu as portas da teoria atômica e iniciou o campo da física estatística.
Dito isso, a relação do princípio browniano com o lema de Ito é explicada a seguir → Se dois títulos possuem a mesma fonte de risco, uma combinação adequada dos dois títulos pode eliminar esse risco; assim, em princípio, foram criados derivativos financeiros para limitar esses riscos.
Além disso, esse resultado levou ao desenvolvimento do modelo matemático Black-Scholes-Merton (a primeira amostra analítica completa para precificação de opções) e muitas teorias e aplicações modernas de hedge.