Função exponencial
A função exponencial é a base da composição contínua, que é o resultado do aumento infinito (à medida que p se aproxima do infinito) da frequência de cálculo de juros na composição composta.
Em outras palavras, a função exponencial é uma composição composta onde os períodos de tempo entre os cálculos de juros são infinitesimais (muito pequenos).
A fórmula da função exponencial é:
A composição contínua pode ser expressa como
Semelhanças razoáveis entre composição contínua e função exponencial, certo?
Definimos as variáveis de composição contínua:
- C t+1 : capital no tempo t+1 (mais tarde).
- C t : capital no momento t (corrente).
- i t : taxa de juros no momento t.
- p: frequência ou periodicidade de capitalização.
- t: tempo.
Formulários
Em finanças, muitas vezes encontramos a função exponencial na fórmula de composição contínua da renda futura e em algumas regressões econométricas.
Na economia, não é tão popular porque a maioria dos modelos microeconômicos e macroeconômicos assumem retornos marginais decrescentes em seus fatores de produção. Consequentemente, assumem que os fatores seguem retornos logarítmicos e, portanto, retornos contrários à função exponencial.
Exemplo de função exponencial
Assumimos que somos um investidor americano que quer construir uma pista de esqui no Pico Bolívar, Venezuela. O investimento inicial é de $ 100 milhões a uma taxa de juros anual de 100%. Este investidor tem poder negocial suficiente para determinar a periodicidade do cálculo dos juros do seu investimento.
Qual alternativa o investidor americano preferirá?
Para responder a pergunta, teremos que calcular o capital no momento t+1 (C t+1 ) que o investidor receberá.
Informações disponíveis:
Ct : $ 100MM
e : 100 %
t: 1 (anual)
Ct + 1 : ?
| Alternativo | UMA |
B. |
C |
D |
E |
F |
| Periodicidade | 1 |
dois |
cinquenta |
100.000 |
10.000.000 |
1.000.000.000 |
Substituímos as informações que temos nas duas fórmulas (função exp. e capitalização contínua)
Tratamos os dados ignorando o MM.
Dividimos (C t+1 ) por 100 na função exponencial para remover o efeito do capital. Desta forma, movemos a vírgula duas posições para frente. Consequentemente, esse efeito é visível nas colunas de resultados a seguir.
Resultados:
Fórmula |
Composição contínua | Função exponencial |
Periodicidade (p) ou (n) |
Ct +1 |
Ct +1/100 _ |
1 |
200 |
dois |
dois |
225 |
2,25 |
cinquenta |
269.1588029 |
2.691588029 |
100.000 |
271.8268237 |
2.718268237 |
10.000.000 |
271.8281694 |
2.718281694 |
1.000.000.000 |
271.8282031 |
2.718282031 |
Quando nop tende ao infinito, neste caso a partir de 10.000.000, podemos ver que os valores convergem para um número específico. Para composição contínua é 271,8281 e para a função exponencial é 2,718281. As duas séries convergem em e .
Resposta do exercício resolvido
Então, qual alternativa o investidor americano acabará escolhendo, se após várias periodicidades o capital em t+1 (C t+1 ) estagnar em um determinado valor?
- Se esse investidor tratar o capital como uma variável discreta, ele escolherá a alternativa D. Porque da alternativa C, o capital em t+1 (C t+1 ) converge para $ 271 milhões.
- Se esse investidor tratar o capital como uma variável contínua, ele escolherá a alternativa com mais periodicidades. Neste caso, alternativa F. Embora acabe convergindo para um valor, o investidor leva em consideração todas as casas decimais.
Essa convergência implica que o capital em t+1 (C t+1 ), calculado pela fórmula de capitalização contínua ou função exponencial, segue retornos marginais decrescentes. Em outras palavras, (C t+1 ) pode ser expresso como uma função logarítmica.
Esquematicamente:
- Periodicidade = função exponencial.
- Capital em t+1 (C t+1 ) = função logarítmica.
Representação gráfica
No gráfico você pode ver como a função exponencial, que é infinitamente contínua, cresce muito mais rápido do que a composição contínua limitada. Quando falamos de capitalização contínua nos referimos a um tipo de capitalização composta mas com maior periodicidade, pois na prática é impossível capitalizar juros infinitesimalmente. Ou seja, não podemos capitalizar cada segundo.