Exemplo de distribuição de Bernoulli
A distribuição de Bernoulli é um modelo teórico usado para representar uma variável aleatória discreta que só pode terminar em dois resultados mutuamente exclusivos.
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O exemplo de Bernoulli
Supomos que somos muito fãs de um ciclista em uma competição de ciclismo em que apenas dois ciclistas competem. Queremos apostar que o corredor ganha.
Então, se você ganhar, será um resultado de “sucesso” e se você perder, será um resultado de “sem sucesso”. Esquematicamente:
Tratamos este exemplo como um caso dicotômico. Ou seja, existem apenas dois resultados possíveis (para simplificar a situação). Nos livros teóricos encontramos o exemplo típico do lançamento de uma moeda não fraudada que consiste em obter cara ou coroa. Como não há mais resultados possíveis, a obtenção do parâmetro p torna-se elementar.
Em nosso exemplo de corredor, também poderíamos considerar “fracasso” obter qualquer posição que não seja o primeiro lugar. Assim, o parâmetro p mudaria para ser o número de vezes que o corredor pode vir primeiro dividido pelo número de posições totais. Esquematicamente:
Aqui o parâmetro p não parece muito óbvio a princípio, mas é apenas uma questão de aplicar a lei de Laplace.
Assumimos que existem apenas 10 posições em que o corredor só pode obter uma delas na corrida. Então,
Exercício
Calcule a função de distribuição do corredor em uma competição de 10 corredores.
Função de distribuição de Bernoulli
- Abordagem.
Definimos os dois valores que uma variável aleatória seguindo uma distribuição de Bernoulli pode assumir.
Z = 1 se o corredor vencer a competição = 1º lugar = SUCESSO.
Z = 0 se o corredor perder a competição = não 1º lugar = SEM SUCESSO.
- Atribuição e cálculo de probabilidades.
Depois de definirmos os valores de Z, atribuímos as probabilidades do resultado do experimento:
Acima no exemplo já calculamos as probabilidades usando a lei de Laplace. O resultado foi que p = 1/10 e (1-p) = 0,9.
- Cálculo da função de distribuição.
Agora só precisamos substituir as variáveis acima na fórmula da função de distribuição.
Podemos notar que as expressões anteriores também podem ser expressas desta forma:
Vemos que usando de uma forma ou de outra, a probabilidade de sucesso, ou seja, a probabilidade de o corredor vencer a competição, será sempre p = 1/10 e a probabilidade de não conseguir, ou seja, a probabilidade de ele perder a competição também será sempre (1-p) = 9/10.
Assim, o corredor segue uma distribuição de Bernoulli com probabilidade p = 0,1: