Diferença entre côncavo e convexo
A diferença entre côncavo e convexo pode ser explicada da seguinte forma → O termo convexo refere-se a uma superfície com uma curvatura para dentro, enquanto se fosse côncava a curvatura seria para fora.
Assim, podemos descrevê-lo de outra forma. A parte central de uma superfície côncava é mais afundada ou deprimida. Por outro lado, se fosse convexa, essa parte central mostraria uma proeminência.
Para entender melhor podemos citar alguns exemplos. Primeiro, o caso clássico de uma esfera, cuja superfície é convexa. No entanto, se fôssemos cortá-lo em dois e manter a metade inferior, teríamos um objeto côncavo, com um recuo (assumindo que o interior da esfera está vazio).
Outro exemplo de convexa seria uma montanha, pois é uma proeminência em relação à superfície da Terra. Pelo contrário, um poço é côncavo, pois entrar nele implica afundar abaixo do nível da superfície da terra.
Deve-se notar também que para definir um objeto como côncavo ou convexo, a perspectiva também deve ser levada em consideração. Assim, uma tigela de sopa, por exemplo, quando está pronta para ser servida, é côncava, tem uma depressão. No entanto, se virarmos, a placa será convexa.
Por outro lado, no caso das parábolas, elas são convexas se forem em forma de U, mas côncavas se forem em forma de U invertido.
funções côncavas e convexas
Se a segunda derivada de uma função for menor que zero em um ponto, então a função é côncava nesse ponto. Por outro lado, se for maior que zero, é convexo nesse ponto. O acima pode ser expresso da seguinte forma:
Se f»(x)<0, f(x), é côncava.
Se f»(x)>0, f(x) é convexo.
Por exemplo, na equação f(x)=x 2 +5x-6, podemos calcular sua primeira derivada:
f'(x)=2x+5
Então encontramos a segunda derivada:
f»(x)=2
Portanto, como f»(x) é maior que 0, a função é convexa para todos os valores de x, como vemos no gráfico abaixo:
Agora, vamos ver o caso desta outra função: f(x)=-4x 2 +7x+9.
f'(x)=-8x+7
f»(x)=-8
Portanto, como a segunda derivada é menor que 0, a função é côncava para todos os valores de x.
Mas agora vamos olhar para a seguinte equação: -5 x 3 +7x 2 +5 x-4
f'(x)=-15x 2 +14x+5
f»(x)=-30x+14
Igualamos a segunda derivada a zero:
-30x+14=0
x=0,4667
Então, quando x é maior que 0,4667, f»(x) é maior que zero, então a função é convexa. Enquanto se x for menor que 0,4667, a função é côncava, como vemos no gráfico abaixo:
Polígono convexo e côncavo
Um polígono convexo é aquele em que dois de seus pontos podem ser unidos, traçando uma linha reta que permanece dentro da figura. Da mesma forma, seus ângulos internos são todos menores que 180º.
Por outro lado, um polígono côncavo é aquele em que, para unir dois de seus pontos, deve-se traçar uma linha reta que esteja fora da figura, sendo esta uma diagonal externa que une dois vértices. Além disso, pelo menos um de seus ângulos internos é maior que 180º.
Podemos ver uma comparação na imagem abaixo: