Definição do modelo Markowitz, o que é e conceito
O modelo de Markowitz é um modelo cujo objetivo é encontrar a carteira de investimento ótima para cada investidor em termos de retorno e risco. Isso, fazendo uma escolha adequada dos ativos que compõem a referida carteira.
Podemos dizer sem medo de errar que o modelo de Markowitz marcou um antes e um depois na história do investimento. Antes de 1952, todos os investidores baseavam seus cálculos e estratégias na ideia de maximizar o retorno de seus investimentos. Ou seja, ao optar por fazer ou não um investimento, eles responderam à pergunta: Qual investimento gera mais rentabilidade?
É claro que Harry Markowitz, recém-formado pela Universidade de Chicago e em vias de obter seu Ph.D., percebeu que outra pergunta precisava ser respondida. Uma pergunta sem a qual a primeira não faria sentido. Qual é o risco de cada investimento? Obviamente, não importa quanto retorno um ativo ou um conjunto de ativos possa gerar, se a probabilidade de perder todo ou grande parte do nosso dinheiro é alta, qual é o sentido do retorno esperado ser muito alto?
Assim, em 1952, Markowitz publicou um artigo no Journal of Finance intitulado Portfolio Selection. Nele, ele não apenas explicou a importância de considerar a rentabilidade ao lado do risco, mas também destacou o efeito redutor que a diversificação teve sobre este último.
Teoria de formação de portfólio
A teoria de formação de portfólio consiste em três etapas:
- Determinação do conjunto de carteiras eficientes.
- Determinação da atitude do investidor em relação ao risco.
- Determine o portfólio ótimo.
E também se baseia nas seguintes premissas iniciais:
- A rentabilidade de uma carteira é dada pela sua expectativa matemática ou média.
- O risco de uma carteira é medido através da volatilidade (de acordo com a variância ou desvio padrão).
- O investidor sempre prefere a carteira de maior retorno e menor risco . Consulte rentabilidade, risco e relação de liquidez.
Determinação do conjunto de carteiras eficientes
Uma carteira eficiente é uma carteira que oferece o risco mínimo para um valor de retorno esperado. Através do gráfico a seguir veremos com mais clareza:
Como você pode ver, na fronteira eficiente, cada carteira minimiza o risco de um determinado retorno. Então, para aumentar a lucratividade, devemos necessariamente aumentar o risco.
Como encontramos a fronteira eficiente?
A fronteira eficiente é encontrada maximizando o seguinte problema matemático:
Sujeito às seguintes restrições:
- Restrição paramétrica
A soma total dos pesos de cada título da carteira multiplicada por sua covariância deve ser igual à Variação Estimada da carteira. Para cada valor de V* teremos uma composição de portfólio diferente.
- Restrição orçamentária
A soma total dos pesos de cada título da carteira não pode somar mais de 1. Ou seja, se tivermos 10.000 euros, podemos comprar no máximo 10.000 euros em ações, não podemos comprar mais de 100% do dinheiro que tem disponível. A soma é 1 porque ao invés de em % vamos trabalhar tanto para um.
- Condição de não negatividade
Não podemos vender a descoberto, portanto, os pesos da carteira não podem ser negativos. Eles serão então maiores ou iguais a zero.
Determinação da atitude do investidor em relação ao risco
A atitude do investidor em relação ao risco dependerá de seu mapa de curvas de indiferença. Ou seja, um conjunto de curvas que representam as preferências do investidor. Assim, cada investidor terá uma aversão ao risco diferente e para cada nível de risco que estiver disposto a assumir, exigirá um determinado retorno.
Quanto maior a curva, mais satisfação ela trará ao investidor. Para o mesmo nível de risco, a curva superior oferecerá mais rentabilidade. Da mesma forma, qualquer ponto na mesma curva representa igual satisfação de acordo com as preferências de um investidor.
Determinação do portfólio ótimo
A carteira ótima de um investidor é determinada pelo ponto tangente entre uma das curvas de indiferença do investidor e a fronteira eficiente. Curvas abaixo desse ponto darão menos satisfação e curvas acima desse ponto não são viáveis.
Por ser um problema matemático complexo e trabalhoso, não discutiremos o método de resolução analítica. Aproveitaremos a tecnologia para, através do excel, resolvê-lo de uma forma muito mais intuitiva. A seguir veremos um exemplo:
Suponha que somos contratados como consultores de investimentos para uma empresa de administração de recursos. O diretor de investimentos nos confia um pedido de um cliente. O cliente diz-nos que só quer investir na Repsol e na Inditex. Ele não quer investir em títulos, nem na Telefónica, nem no Santander, nem em qualquer outro ativo. Só na Repsol e na Inditex. Nós, como especialistas no Modelo Markowitz, vamos lhe dizer, com base na evolução desses ativos, qual a proporção de cada um que você deve comprar.
Para isso, obtemos os dados de informações históricas de ambos os títulos. Feito isso, realizaremos os cálculos necessários para obter o gráfico apresentado acima. Nele temos o conjunto de possibilidades de investimento. Para isso resolvemos de forma muito simples a seguinte tabela:
Repsol | Inditex | Risco | Custo-benefício |
---|---|---|---|
0% | 100% | 0,222% | 0,77% |
10% | 90% | 0,180% | 0,96% |
vinte% | 80% | 0,147% | 1,15% |
30% | 70% | 0,124% | 1,34% |
40% | 60% | 0,110% | 1,53% |
cinquenta% | cinquenta% | 0,106% | 1,72% |
60% | 40% | 0,112% | 1,91% |
70% | 30% | 0,127% | 2,10% |
80% | vinte% | 0,152% | 2,29% |
90% | 10% | 0,187% | 2,48% |
100% | 0% | 0,231% | 2,67% |
A tabela mostra o retorno e o risco que a carteira teria com base na proporção que compramos de cada ativo. As carteiras eficientes são aquelas com 50% ou mais do peso da Repsol. Por quê? Porque se investirmos menos na Repsol e mais na Inditex, estamos a reduzir a rentabilidade e a aumentar o risco.
Feito esse cálculo, passaremos a estudar as preferências do investidor. Para simplificar, digamos que você seja uma pessoa muito avessa ao risco que queira um portfólio que tenha o menor risco possível. Então, de acordo com essas preferências, passaremos para a terceira etapa onde escolheremos a carteira ótima que ficará localizada no ponto amarelo (carteira de variância mínima).