Definição de decomposição de Cholesky, o que é e conceito
A decomposição de Cholesky é uma classe especial de decomposição de matrizes LU, do inglês Lower-Upper, que consiste na fatoração de uma matriz no produto de duas ou mais matrizes.
Em outras palavras, a decomposição de Cholesky consiste em igualar uma matriz contendo o mesmo número de linhas e colunas (matriz quadrada) a uma matriz com zeros acima da diagonal principal multiplicada por sua matriz transposta com zeros abaixo da diagonal principal.
A decomposição LU, diferentemente de Cholesky, pode ser aplicada a vários tipos de matrizes quadradas.
Características da decomposição de Cholesky
A decomposição de Cholesky consiste em:
- Uma matriz quadrada triangular superior: Uma matriz quadrada que tem apenas zeros abaixo da diagonal principal.
- Uma matriz quadrada triangular inferior: Uma matriz que tem apenas zeros acima da diagonal principal.
Matematicamente, se existe uma matriz definida positiva simétrica, E , então existe uma matriz triangular inferior simétrica, K,
da mesma dimensão que E , resultando em:
A matriz anterior aparece como a matriz de Cholesky de E. Esta matriz atua como a raiz quadrada da matriz E. Sabemos que o domínio da raiz quadrada é:
{ X ∈ ℜ : x ≥ 0}
que é definido em todos os números reais não negativos. Da mesma forma que a raiz quadrada, a matriz de Cholesky só existirá se a matriz for semi-positiva definida. Uma matriz é definida semi-positiva quando os menores principais têm um determinante positivo ou nulo.
A decomposição de Cholesky de E é uma matriz diagonal tal que:
Podemos ver que as matrizes são quadradas e contêm as características mencionadas; triângulo de zeros acima da diagonal principal na primeira matriz e triângulo de zeros abaixo da diagonal principal na matriz transformada.
Aplicações da decomposição de Cholesky
Em finanças é usado para transformar realizações de variáveis normais independentes em variáveis normais correlacionadas de acordo com uma matriz de correlação E.
Se N é um vetor de normais independentes (0,1), então Ñ é um vetor de normais correlacionadas (0,1) de acordo com E .
Exemplo de decomposição de Cholesky
Este é o exemplo mais simples que podemos encontrar de decomposição de Cholesky já que as matrizes têm que ser quadradas, neste caso, a matriz é (2×2). Duas linhas por duas colunas. Além disso, atende às características de possuir zeros acima e abaixo da diagonal principal. Esta matriz é definida semi-positiva porque os menores principais têm um determinante positivo. Definimos:
Resolvendo para: c 2 = 4; bc=-2; a2 + b2 = 5 ; temos quatro matrizes de Cholesky possíveis:
Finalmente calculamos para encontrar (a,b,c). Assim que as encontrarmos, teremos as matrizes de Cholesky. O cálculo é o seguinte: