Convexidade de uma ligação Definição, o que é e conceito
A convexidade de um título é a inclinação da curva que relaciona preço e rendimento. Ele mede a mudança na duração do título como resultado de uma mudança no rendimento.
Matematicamente é expresso como a segunda derivada da curva preço-rendimento. A fórmula é a seguinte:
A variação do preço de um título devido a mudanças nas taxas de juros é a soma da variação devido à duração modificada e a variação devido à convexidade do título.
Se a convexidade de um título for igual a 100, o preço do título variará 1% a mais para cada mudança de 1% nas taxas de juros, além do calculado pela duração. Se a convexidade de um título for igual a zero, o preço do título variará com as mudanças nas taxas de juros pelo valor motivado pela duração do título.
Relação convexidade de um vínculo e duração de um vínculo
A convexidade de um título nos dá uma medida muito mais precisa das mudanças de preço-rendimento de um título. A duração de um título assume que a relação entre preço e rendimento é constante. No entanto, a realidade é muito diferente. Assim, diante de pequenas variações de preço-rendimento, a duração é uma medida aceitável. Mas para variações maiores, o cálculo da convexidade torna-se essencial.
Matematicamente, pode parecer um termo um tanto abstrato. Como graficamente é muito mais fácil de entender, vamos vê-lo representado. Nos dois gráficos seguintes vemos representados tanto a duração quanto a convexidade.
Quanto menor o rendimento do título, maior o seu preço. E vice-versa, quanto maior o rendimento do título, menor será o seu preço. É claro que o preço não muda na mesma proporção se sua lucratividade mudar de 10 para 12% como se mudar de 1 para 2%. Isso é o que a convexidade leva em conta. A duração assume que a mudança no preço é sempre a mesma. Enquanto a convexidade leva em conta que a variação do preço não é constante. A diferença entre a linha azul e a linha laranja é a convexidade real. A linha laranja é a variação do preço do título levando em consideração a duração. Por fim, a linha azul representa as variações no preço do título levando em consideração a duração e a convexidade.
Exemplo de convexidade de um título
Temos um título com vencimento de 10 anos. O cupão é de 7% e a obrigação tem um valor nominal de 100 euros. A TIR de mercado é de 5%. O que significa que títulos com características semelhantes estão oferecendo um retorno de 5%. Ou o que é o mesmo 2% menos. O pagamento dos cupons é anual.
Se o retorno do título passar de 7% para 5%, quanto mudará o preço do título? Para calcular a variação que o preço teria em caso de mudança na taxa de juros, precisaremos das seguintes fórmulas:
Cálculo do preço do título:
Cálculo da duração do bônus:
Cálculo da duração modificada:
Cálculo de convexidade:
Cálculo da variação da duração:
Cálculo da variação da convexidade:
Cálculo da variação do preço do título:
Baixe a tabela do excel para ver todos os cálculos detalhados
Usando as fórmulas mencionadas acima, obtemos os seguintes dados:
Preço do título = 115,44
Duração = 7,71
Duração Modificada = 7,34
Convexidade = 69,73
A variação de preço diante de uma queda de 2% no rendimento do título é de +14,68%, levando em consideração a duração. A variação do preço do título tendo em conta a convexidade é de +1,39%. Para obter a variação total do preço temos que somar as duas variações. O cálculo mostra que diante de uma queda de 2% nesse título, o preço aumentaria 16,07%.