Generalizando, os resíduos quadráticos de MQO são regredidos nas variáveis ​​explicativas. O principal objetivo de White é testar as formas de heterocedasticidade que invalidam os erros padrão típicos de MQO e suas estatísticas correspondentes.

Em outras palavras, o teste de White permite testar a presença de heterocedasticidade (o erro, u, condicionado às variáveis ​​explicativas varia na população). Este teste unifica em uma única equação os quadrados e os produtos cruzados de todas as variáveis ​​independentes da regressão. Dadas as suposições de Gauss-Markov, focamos na suposição de homocedasticidade sendo:

Var (u | x ₁ ,…,x _k ) = σ ²

Um exemplo de heterocedasticidade seria que em uma equação de mudança climática, a variância dos fatores não observados que afetam a mudança climática (fatores que estão dentro do erro e E(u | x ₁ ,…,x _k ) ≠ σ ² ) aumenta com o CO ₂ emissões (Var (u | x ₁ ,…,x _k ) ≠ σ ² ). Aplicando o teste de White estaríamos testando se Var (u | x ₁ ,…,x _k ) ≠ σ ² (heterocedasticidade) ou Var (u | x ₁ ,…,x _k ) = σ ²  (homoscedasticidade). Neste caso, rejeitaríamos Var (u | x ₁ ,…,x_k ) = σ ²  porque a variância do erro aumenta com as emissões de CO ₂  e, portanto, σ ² não é constante para toda a população.

Procedimento

1. Partimos de uma regressão linear múltipla populacional com k=2. Definimos (k) como o número de regressores.

Assumimos a conformidade de Gauss-Markov para que a estimativa OLS seja imparcial e consistente. Em particular, focamos em:

•  E(u | x ₁ ,…,x _k ) = 0
• Var (u | x ₁ ,…,x _k ) = σ ²

2. A hipótese nula baseia-se no cumprimento da homocedasticidade.

H ₀ : Var (u | x ₁ ,…,x _k ) = σ ²

Para testar H ₀  (homocedasticidade), testa-se se u ² está relacionado a uma ou mais variáveis ​​explicativas. Equivalentemente, o H ₀ pode ser expresso como:

H ₀ : E( u ² | x ₁ ,…, x _k ) = E( u ² ) = σ ²

3. Fazemos a estimativa OLS no Modelo 1, onde a estimativa de û ² é o quadrado do erro do Modelo 1. Construímos a equação û ² :

• As variáveis ​​independentes (x _i ).
• Os quadrados das variáveis ​​independentes (x _i ² ).
• Os produtos cruzados (x _i x _h ∀ i ≠ h).
• Substituímos B ₀ e B _k  por δ ₀  e δ _k respectivamente.
• Substituímos u por v

Resultando em:

û ² = δ ₀ + δ ₁ x ₁ + δ ₂ x ₂ + δ ₃ x ₁ ² + δ ₄ x ₂ ² + δ ₅ x ₁ x ₂ + v

Este erro (v) tem média zero com as variáveis ​​independentes ( x _i ) .

4. Propomos as hipóteses da equação anterior:

5. Usamos a estatística F para calcular o nível de significância conjunta de (x ₁ ,…,x _k ).

Lembramos como (k) o número de regressores em û ² .

6. Regra de rejeição:

• p-valor < F _k,nk-1  : rejeitamos H ₀  = rejeitamos a presença de homocedasticidade.

• p-valor > F _k,nk-1  : não temos evidência significativa suficiente para rejeitar H ₀  = não rejeitamos a presença de homocedasticidade.