Concavidade
A concavidade é a propriedade que uma superfície ou figura geométrica possui, de modo que sua parte central seja mais profunda que as extremidades.
Podemos relacionar a concavidade com o interior de uma esfera que foi cortada em duas, ou com a imagem de um poço, pois este é um afundamento e, portanto, é côncavo.
A concavidade é o oposto da convexidade, que é quando uma superfície ou objeto tem uma proeminência, como no caso de uma montanha, ou quando nos atingimos e causamos inflamação.
Claro, dependendo do documento que lemos ou da explicação, pode-se considerar que a montanha é côncava. Tudo depende do ponto de vista que você vê.
concavidade de uma parábola
A concavidade de uma parábola ocorre quando ela tem a forma de U invertido, como podemos ver na imagem a seguir.
Agora, sabemos que a referida parábola é côncava por causa de sua função f(x) = -x 2 +2x+5, a primeira derivada é f'(x) = -2x+2, e sua segunda derivada seria f»( x) = -2. Portanto, a função f(x) = x 2 +2x+5 é côncava para todos os valores de x.
Isso é verdade porque, para determinar a concavidade de uma função, a segunda derivada deve ser avaliada. Se for menor que zero, então a função é côncava naquele ponto ou intervalo específico.
Concavidade de uma função
Como mencionamos anteriormente, se a segunda derivada de uma função for menor que 0 em um intervalo do domínio (conjunto de valores que x pode assumir), então ela é côncava nesse intervalo.
Por exemplo, uma função pode ser côncava entre [4,9] e convexa no intervalo [10,16].
Agora vamos ver um caso. Se tivermos a função f(x) = -x 3 +6x+5, sua primeira derivada é f'(x) = -3x 2 +6 e sua segunda derivada seria f»(x) = -6x. Portanto, a função é côncava para qualquer valor de x maior que 0 (veja a imagem abaixo onde o gráfico se torna um U invertido a partir de valores positivos de x). Por exemplo, quando x=3, a segunda derivada é negativa f»(x) = -3×6 = -18.
concavidade de um polígono
Quando classificamos polígonos, aqueles com concavidade ou côncavos são aqueles que possuem pelo menos um de seus ângulos internos maior que 180º. Além disso, pelo menos uma das diagonais é exterior à figura. Ou seja, para unir pelo menos dois pontos da figura, deve-se traçar uma linha reta fora do polígono.
Por exemplo, vejamos o seguinte trapézio côncavo:
Da mesma forma, a figura a seguir chamada de estrela:
Veja mais em polígono côncavo.