Em outras palavras, procuramos a variância mais próxima desse limite inferior para encontrar o melhor estimador com base nas propriedades de imparcialidade e eficiência.

Recomenda-se ler as propriedades dos estimadores

Essas propriedades são utilizadas quando temos que escolher um estimador para realizar uma análise econométrica. Se quisermos que nossos resultados sejam conclusivos, no mínimo, teremos que exigir que o estimador seja imparcial e que tenha a menor variância possível entre todos os estimadores imparciais (eficiência).

Apesar de levarmos em conta todos os estimadores não viesados, quando procuramos o estimador de variância mínima, pode acontecer que haja outro estimador não viesado que tenha menor variância. 

Para que não percamos nenhum estimador imparcial com variância mínima, estabelecemos um limite mínimo ou inferior que a variância do estimador imparcial de um parâmetro não pode exceder. 

Nós só olhamos para estimadores não tendenciosos porque estimadores tendenciosos podem ter variâncias menores que o CCR.

Definimos:

f (X; Θ): função densidade de probabilidade.

E[ · ]: esperança matemática.

I(Θ): Informação Fisher de um parâmetro.

Ela representa “a quantidade de informação” sobre o valor do parâmetro contido em uma observação da variável aleatória X.

Fórmula: 

Não entre em pânico! O que podemos ver à primeira vista a partir desta fórmula?

• Podemos ver que é uma desigualdade não estrita (≥) em vez de uma igualdade (=). Isso porque em alguns casos não encontramos (não existe) um estimador imparcial que atinja o limite CCR. Portanto, dizemos que buscamos a variância de um estimador imparcial que esteja o mais próximo possível desse limite inferior. Adicionalmente, o CCR nos diz qual será a variância mínima do estimador, abaixo deste valor não pode ser encontrada.
• A parte à direita (var(Θ’) é a variância de nossa estimativa de parâmetro .
• A parte esquerda [1/J(Θ)] é o mínimo intransponível da variância.
• Se procurarmos um mínimo (absoluto) para a variância do estimador de Θ, é lógico que apareçam derivadas parciais (derivadas em relação a Θ).
  • Em economia, as derivadas parciais são usadas em condições de primeira e segunda ordem com o objetivo de otimizar funções de utilidade: encontrar máximos e mínimos relativos e absolutos, respectivamente.
  • CCR usa a primeira derivada parcial do parâmetro Θ sobre a função de densidade de probabilidade f(X;Θ)
  • Para facilitar o cálculo, em alguns casos, a segunda derivada e as informações alternativas de Fisher são usadas para obter o CCR.

Os estimadores que, por serem imparciais, tiverem variância igual ao CCR, serão então considerados os mais eficientes. Da mesma forma, aqueles imparciais cuja variância é mais próxima serão considerados relativamente mais eficientes que os outros estimadores (mais distantes).