bissetriz de um triângulo
A bissetriz de um triângulo é um segmento que divide um de seus ângulos internos em duas partes iguais e continua até atingir o lado oposto a esse ângulo. Cada ângulo interno do triângulo corresponde a uma bissetriz.
Devemos notar então que todo triângulo tem três bissetrizes, cada uma das quais começa de cada vértice para o lado oposto.
Como vemos na imagem, suas bissetrizes se cruzam no ponto I, que é o incentro. Este é o centro do círculo inscrito no triângulo. Esta circunferência é, por sua vez, tangente à figura.
Note-se também que na imagem os segmentos AD, FC e BE são as bissetrizes internas dos triângulos, que são calculadas com as seguintes fórmulas:
Onde s é o semiperímetro:
Lembremos que as bissetrizes são retas, ou seja, elementos unidimensionais que se estendem indefinidamente em uma única direção, não têm origem nem fim. No entanto, o comprimento das mediatrizes internas, que são os segmentos dentro do triângulo, pode ser calculado.
Outro ponto a destacar é que o incentro equidistante dos lados do triângulo, ou seja, olhando para a imagem acima, o segmento ID é igual ao segmento IE e, por sua vez, igual ao segmento IF.
Deve-se notar também que as três mediatrizes de um triângulo equilátero serão iguais, e se o comprimento de cada um dos lados da figura for L, então o comprimento de cada mediatriz será:
teorema da bissetriz
O teorema da bissetriz nos diz que a razão entre os comprimentos de dois lados que formam o ângulo relativo a uma de suas bissetrizes, é igual à divisão entre os comprimentos dos segmentos em que se divide o lado que corta a respectiva bissetriz.
Em termos matemáticos, na imagem abaixo, sendo AD uma bissetriz interna, seria verdade que:
Da mesma forma, cumpre-se que:
exemplo de bissetriz
Suponha que temos um triângulo cujos lados medem 10, 17 e 13 metros. Qual o comprimento de suas bissetrizes internas? (s é o semiperímetro e as bissetrizes são b1, b2 e b3.