Baricentro de um triângulo
O baricentro de um triângulo é o ponto onde as medianas da figura se cruzam. Também é conhecido como centroide.
Deve-se lembrar que a mediana é aquele segmento que une o vértice do triângulo com o ponto médio do seu lado oposto. Assim, cada triângulo tem três medianas.
Por exemplo, no triângulo acima, o centro de gravidade é o ponto O, com as medianas sendo os segmentos AF, BD e CE.
Uma propriedade importante do centroide é que sua distância de cada vértice é duas vezes a distância do lado oposto.
Para explicar melhor, duas partes podem ser distinguidas em cada mediana:
- A distância do vértice ao centroide, que é 2/3 do comprimento da mediana
- O 1/3 restante, que é a distância do centro de gravidade ao ponto médio do lado oposto.
Na imagem acima, por exemplo, é verdade que:
Como encontrar o centro de gravidade de um triângulo
Para encontrar o baricentro do triângulo devemos levar em conta que, conhecendo as coordenadas dos três vértices do triângulo, as coordenadas do baricentro correspondem à sua média aritmética. Então, suponha que os vértices sejam:
Então, as coordenadas do centroide, que chamaremos de O, seriam:
Agora, também é possível encontrar o centroide se tivermos as equações das retas que contêm pelo menos duas das medianas.
Lembre-se que na geometria analítica, uma linha pode ser expressa como uma equação algébrica de primeira ordem como:
y = xm+b
Na equação mostrada, y é a coordenada no eixo de ordenadas (vertical), x é a coordenada no eixo de abcissas (horizontal), m é a inclinação (inclinação) que forma a linha em relação ao eixo de abcissas e b é o ponto onde a linha intercepta o eixo das ordenadas.
Para entender melhor o que foi dito acima, vejamos um exemplo.
Exemplo de baricentro
Suponha que temos um triângulo do qual conhecemos dois de seus vértices:
A(0;4) e B(-2;1)
Agora, também sabemos que o ponto médio do lado oposto ao vértice A é (3,1), e o ponto médio do lado oposto ao vértice B é (4,2,5). Vale esclarecer que estamos utilizando o ponto e vírgula para não confundir com a vírgula que separa os decimais.
Primeiro vamos encontrar a equação da reta que contém a mediana que parte do vértice A, levando em conta que a inclinação ao passar de um ponto a outro deve ser sempre a mesma. A inclinação é a variação no eixo vertical dividida pela variação no eixo horizontal:
O que fizemos foi supor que a reta passa por um ponto (x1;y1), que é o vértice A (0;4), e pelo ponto (x2;y2) que é o ponto médio de seu lado oposto (3 , 1).
Então, fazemos o mesmo com o vértice B (-2, 1) e o ponto médio do lado oposto (-4, -2,5):
Na próxima etapa, igualamos o lado direito das duas equações encontradas para isolar o valor no eixo X quando ambas coincidem:
Então isolamos em qualquer uma das equações para encontrar o valor de y:
Portanto, o baricentro do triângulo é o ponto (2,2) no plano cartesiano.